Überblick Link to heading

Die Realität wird in der heutigen Zeit ganz erheblich durch die Analyse und Bewertung von Daten vermittelt. Corona, Klimawandel, künstliche Intelligenz, Massenverfahren — viele komplexe Phänomene lassen sich ohne einen Blick in massive Datensätze kaum noch nachvollziehen oder sinnvoll bearbeiten. An diesem Punkt stoßen die rein literarischen Methoden der traditionellen Rechtswissenschaft an ihre Grenzen.

Für Menschen sind Daten in ihrem Rohformat ab einer bestimmten Größe nicht mehr verständlich.¹ Diese Größe ist sehr schnell erreicht — meist schon bei wenigen Dutzend Datenpunkten. Deshalb fasst man Datensätze mit Methoden der Statistik zusammen, um sie auf ein menschlich verständliches und nutzbares Maß zu reduzieren.

Einzelne statistische Kennzahlen scheinen auf den ersten Blick eine bestechende und objektive mathematische Klarheit zu bieten. Der Mittelwert (auch: “Durchschnitt” oder “arithmetisches Mittel”) ist eine der beliebtesten Kennzahlen der Datenzusammenfassung. Er ist einfach zu verstehen, einfach anzuwenden und weit verbreitet. Bedauerlicherweise führt die unreflektierte Anwendung des Mittelwerts oft zu verzerrten Ergebnissen, der Verdeckung von Diversität und dem exklusiven Fokus auf unrealistische Ideale (z.B. der berühmte “Durchschnittsbürger”).

Wir besprechen in diesem Tutorial deshalb verschiedene Arten der Zusammenfassung von Daten, zunächst anhand von synthetischen Daten, dann anhand eines realen juristischen Datensatzes:

• Lageparameter (Mittelwert und Median)²
• Verteilungen (Histogramm, Dichtediagramm, Box-Plot)

Verteilungen sind im Vergleich zu Lageparametern besser geeignet, Daten fair zusammenzufassen, weil der Informationsverlust geringer ist. Bei einer großen Anzahl von Datenpunkten gibt es oft nicht den einen charakteristischen Kennwert, sondern es gilt die unterschiedlichen Schwerpunkte und Tendenzen des Datensatzes aufzudecken. Ein Beispiel: so wäre es nach dem Blick auf folgendes Diagramm der Verfahrensdauern am BVerfG wohl fast schon irreführend, einen Durchschnitt von drei Jahren zu nennen (Fobbe 2022).

Variabilität und Unsicherheit Link to heading

Verteilungen können vor allem zwei Konzepte besser darstellen als Lageparameter: Variabilität und Unsicherheit.

Variabilität tritt in der Welt fast immer und überall auf. So mag der durchschnittliche Mann in Deutschland ca. 1,75 m groß sein, die tatsächliche Bandbreite und Verteilung menschlicher Körpergröße im Land ist aber kunterbunt. Viele Menschen werden um die 1,75 m sein, einige aber größer oder kleiner, einige wenige besonders viel größer und besonders viel kleiner. Auch ist der Unterschied zwischen den Geschlechtern für den Mittelwert — und damit die Position der Verteilung — ganz erheblich.

Unsicherheit liegt vor, wenn unser Wissen über einen Sachverhalt begrenzt ist, unabhängig von dessen Variabilität. So könnte beispielsweise ein Bankräuber exakt 1,90 m groß sein, die Zeugen ihn aber wegen der aufreibenden Situation und ungenauer Wahrnehmung nur als “zwischen 1,80 m oder 2,00 m” beschreiben können, bzw. einfach nur als “sehr groß”.

Variabilität ist eine Eigenschaft des Seins, Unsicherheit eine des Wissens. Beide können gleichzeitig auftreten. Die Berechnung und Visualisierung von Verteilungen erlaubt es uns, Variabilität und Unsicherheit quantitativ und rational zu begegnen.

Vorbereitung Link to heading

Wir benutzen die Programmiersprache R, um Daten zu generieren, zu analysieren und zu visualisieren. Der gesamte Code ist so gestaltet, dass Sie ihn zeilenweise in Ihre R-Konsole kopieren und selbst ausführen können.

Probieren Sie es aus! Lesen Sie das Tutorial nicht nur, sondern führen Sie auch den Code selbst aus! Um die Ergebnisse zu prüfen, die Details besser zu verstehen und selber ein wenig zu experimentieren. Die Freude am Programmieren kommt erst mit dem Selbermachen — nie mit dem Lesen allein.

Zufallszahlen fixieren Link to heading

1set.seed(999)

Daten generieren Link to heading

Wir erstellen mit den folgenden Code-Zeilen jeweils 1.000 zufällige Datenpukte aus drei verschiedenen klassischen stochastischen Verteilungen. Solche oder ähnliche Datenpunkte könnten aus einer empirischen Studie oder Umfrage stammen. Die Zahl 1.000 habe ich gewählt, weil viele repräsentative Umfragen mit einer Zahl von ca. 1.000 Befragten arbeiten und Sie dadurch ein bisschen Gefühl für die statistische Praxis entwickeln werden.

Wir üben mit diesen drei idealisierten Verteilungen zur Vereinfachung und Veranschaulichung der Methodik:

• Vereinfachung, weil wir dadurch das Herunterladen und Einlesen von Daten ausklammern können
• Veranschaulichung, weil jede der drei Verteilungen sehr charakteristische Eigenschaften hat, die bei der Erklärung typischer Probleme hilft

Wir analysieren diese Daten im Laufe des Tutorials, nur etwas Geduld!

Normalverteilung Link to heading

1normal <- rnorm(1000, mean = 100, sd = 15)

Log-Normalverteilung Link to heading

1lognormal <- rlnorm(1000, meanlog = 4.47, sdlog = 0.5)

Beta-Verteilung Link to heading

1beta <- rbeta(1000, 0.2, 0.2) * 190

Werte der Verteilungen anzeigen Link to heading

Zunächst probieren wir einmal die Rohdaten der Verteilungen direkt anzuzeigen. Das ist bei vielen kleinen Datensätzen — aber auch manchmal bei größeren Datensätzen — gar nicht so verkehrt, weil man direkt Muster erkennen und daraus Hypothesen oder Ideen für die Exploration der Daten generieren kann. Wenn gravierende Fehler in den Daten vorhanden sind, sieht man sie ebenfalls oft schon in diesem Stadium.

Mit dem Klammerzusatz [1:50] werden nur die ersten 50 Datenpunkte angezeigt. Die Einschränkung wähle ich hier, damit Sie in diesem Tutorial nicht durch endlose Zahlenwüsten scrollen müssen, um zum nächsten Abschnitt zu gelangen. Bei sehr großen Datensätzen wird außerdem die Konsole geflutet und das Interface friert ein oder stürzt ab. Das ist bei 1.000 Datenpunkten aber unwahrscheinlich, außer sie haben einen sehr, sehr alten Computer.

Normalverteilung anzeigen Link to heading

1print(normal[1:50])

1##  [1]  95.77390  80.31161 111.92776 104.05106  95.84040  91.50964  71.82013
2##  [8]  80.99813  85.48375  83.18486 119.88196 102.00966 114.08124 102.58807
3## [15] 114.36476  79.55971 101.02503 101.50986 113.52017  68.88464  81.57155
4## [22] 109.64566  94.60356 104.41053  83.12097 109.63398  83.39894  86.72739
5## [29]  76.68857  98.09982 135.73996 109.01914 102.69042 116.20797  96.29782
6## [36]  68.29395  94.44209 107.84302 107.76708  78.96234  92.71545 100.12747
7## [43]  80.76830  83.32632 104.50998 104.14718  69.23684 100.21285 108.73400
8## [50]  99.47910

Log-Normalverteilung anzeigen Link to heading

1print(lognormal[1:50])

1##  [1]  85.12648 257.71340  48.41812 140.10341 136.86963  34.38457 151.97229
2##  [8] 169.33980  84.81856  50.08362 138.04280 169.14846 186.62926 127.13527
3## [15]  44.42033  51.78645 107.27701 221.26954  66.90303  42.03478  96.06316
4## [22] 107.17145  51.65440  41.74021  65.47462 211.78821  41.83182  97.50702
5## [29]  60.25510 107.93089  67.23228 202.07011 160.05965  74.40073 111.34302
6## [36] 131.56600  70.06619  72.66396 115.78188  82.68581  75.36887 118.73016
7## [43]  65.71656  99.97671  60.43055 176.53575  61.78021  72.46802  98.20388
8## [50]  49.97018

Beta-Verteilung anzeigen Link to heading

1print(beta[1:50])

 1##  [1] 1.820029e+02 1.180641e+01 1.899884e+02 1.363032e+02 1.367371e+01
 2##  [6] 1.092780e+02 2.324482e+01 1.790829e+02 4.682861e+01 1.899997e+02
 3## [11] 1.029877e+02 2.068828e+00 1.758332e+02 1.136942e+01 1.895999e+02
 4## [16] 1.461639e+01 1.801766e-02 4.144685e-05 1.899997e+02 1.847211e+02
 5## [21] 4.433401e+01 1.027253e+02 7.646949e+01 1.664601e+02 1.843718e+01
 6## [26] 1.885473e+02 1.644399e+02 2.383747e-01 2.190459e-05 2.669806e+01
 7## [31] 1.788748e+02 7.946888e+00 1.198917e+01 1.900000e+02 1.840867e+02
 8## [36] 1.718406e+02 1.323951e+02 9.033565e+01 1.833539e+02 1.900000e+02
 9## [41] 1.899991e+02 1.898603e+02 8.795029e+01 1.154381e+01 7.248238e-02
10## [46] 1.022053e+01 6.038260e+01 9.061349e-03 1.872870e+01 1.076143e+02

Ergebnis Link to heading

Zahlensalat. Keine Erkenntnisse, oder? In den Daten sind schon Muster, wir haben nur keine Chance sie in dieser durcheinander gewürfelten Rohform zu erkennen.³

Histogramme Link to heading

Die erste Aufgabe bei jedem neuen Datensatz: visualisieren. Histogramme sind bei numerischen Daten eine der wichtigsten visuellen Methoden.

Histogramme teilen die gesamte Bandbreite einer numerischen Variable in gleichmäßige Klassen (hier sichtbar als Balken) auf und zeigen an, wie häufig Datenpunkte in diesen Klassen vorkommen. Klassen könnte man auch als “Bereiche” oder “Unterteilungen” umschreiben.

Histogramme sind eine gute Möglichkeit, um eine erste grobe Abschätzung der Verteilung einer Variable vorzunehmen.

Histogramm: Normalverteilung Link to heading

1hist(normal, breaks = 20)

Wir sehen hier schon die Andeutung der typischen Eigenschaften einer Normalverteilung:

• Symmetrie um den Mittelwert
• Besonders viele Datenpunkte in der Mitte
• Immer weniger Datenpunkte, je weiter wir uns vom Mittelwert entfernen.

Eine Normalverteilung hat nur einen Schwerpunkt, sie wird daher als unimodal bezeichnet.

Die Normalverteilung ist wegen ihrer glockenhaften Form auch als “Glockenkurve” bekannt, bzw. als “Gauß-Kurve” (nach Carl Friedrich Gauß). Man findet sie oft (aber nicht immer!) in der Natur. Beispielsweise ist die eingangs erwähnte menschliche Körpergröße in etwa normalverteilt.

Auch der Intelligenzquotient (IQ) wird als Normalverteilung mit Mittelwert 100 und Standardabweichung 15 modelliert, hier allerdings durch Konvention und kontinuierliche Standardisierung.⁴ Wenn Sie genauer in die von mir oben verwendeten Parameter blicken, werden Sie erkennen, dass ich hier genau diese Normalverteilung mit Mittelwert 100 und Standardabweichung 15 als Datenquelle gewählt habe.

Histogramm: Log-Normalverteilung Link to heading

1hist(lognormal, breaks = 20)

Die logarithmische Normalverteilung (oder “Log-Normalverteilung”) mit bestimmten Parametern sieht schon deutlich anders aus als die Normalverteilung. Vor allem: sie ist schief. Wenn der Schwerpunkt auf der linken Seite liegt, nennen wir sie “rechtsschief”. Klingt komisch, ist aber so.

Ähnlich aussehende Verteilungen (aber nicht zwingend dieselbe!) findet man bei juristischen Notenskalen, bei denen der Großteil der Studierenden Noten im Bereich der 4–6 Punkte erreicht, höhere Notenwerte aber immer seltener vergeben werden, je höher die Note ist. Anders als beispielsweise von iur.reform angenommen hat die juristische Notenverteilung nicht einmal annäherend die Form einer Normalverteilung (“Gauß-Kurve”), weil sie nicht symmetrisch ist und ihr Schwerpunkt deutlich nach links verschoben ist (Towfigh/Traxler/Glöckner 2014: 15–17).

Histogramm: Beta-Verteilung Link to heading

1hist(beta, breaks = 20)

Die Beta-Verteilung in unserem Beispiel sieht nun wieder deutlich anders aus als die Normalverteilung oder die Log-Normalverteilung. Vor allem: sie hat zwei Schwerpunkte, will sagen sie ist bimodal.

Beta-Verteilungen können sehr verrückte Formen annehmen, sehen Sie sich auf Wikipedia einmal die verschiedenen Parametrisierungen an.

Zusammenfassung Histogramme Link to heading

Drei verschiedene Verteilungen, drei völlig unterschiedliche Formen und Schwerpunkte.

Mit dem Mittelwert hätten wir bei der Normalverteilung noch eine gute Beschreibung für den Schwerpunkt gehabt, bei der Log-Normalverteilung wären wir schon etwas daneben gelegen und bei der Beta-Verteilung komplett falsch.

Viele Missverständnisse des Mittelwerts beruhen darauf, dass Menschen sich implizit eine Normalverteilung um den Mittelwert herum vorstellen und den Mittelwert daher als repräsentativ ansehen (“Durchschnittsbürger”). Selbst bei einer echten Normalverteilung führt die Verwendung des Mittelwerts in der Praxis zu Problemen für nicht-durchschnittliche Menschen (man denke nur an besonders große Menschen und die immer enger werdenden Sitze in Flugzeugen).

Die Annahme einer Normalverteilung kann aber auch oft genug gravierend falsch sein und zu besonders falschen Vorstellungen bei der Interpretation des Mittelwertes führen. Sie sollten diese Annahme daher immer hinterfragen.

Dichtediagramme Link to heading

Dichtediagramme sind eine Verfeinerung von Histogrammen. Sie sind, grob gesprochen, eine Art von flüssiges Histogramm, bei denen die Klassen fließend ineinander übergehen. Ich bevorzuge Sie in meiner Arbeit meist gegenüber Histogrammen, weil ich mir dann keine Gedanken über die Anzahl der Klassen machen muss und die Ergebnisse schneller zu interpretieren sind.

Dichtediagramm: Normalverteilung Link to heading

1plot(density(normal))

Dichtediagramm: Log-Normalverteilung Link to heading

1plot(density(lognormal))

Dichtediagramm: Beta-Verteilung Link to heading

1plot(density(beta))

Zusammenfassung Dichtediagramme Link to heading

Wie bei den Histogrammen sehen wir zunächst eine symmetrische Verteilung mit einem Schwerpunkt bei der Normalverteilung, dann eine asymmetrische rechtsschiefe Log-Normalverteilung und schließlich eine symmetrische, aber bimodale Beta-Verteilung.

Lageparameter Link to heading

Um die wichtigsten sechs Kennwerte eines Datensatzes schnell zu bestimmen, können wir die bequeme Funktion summary() nutzen. Folgende Ergebnisse erwarten Sie:

Lageparameter: Normalverteilung Link to heading

1summary(normal)

1##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
2##   53.90   89.42   99.86   99.51  109.55  145.92

Bei der Normalverteilung sind Median und Mittelwert praktisch identisch. Beide bieten eine solide Beschreibung der zentralen Tendenz des Datensatzes. Dieses Idealbild haben viele Menschen im Kopf, wenn sie Mittelwert und Median interpretieren.

Lageparameter: Log-Normalverteilung Link to heading

1summary(lognormal)

1##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
2##   20.93   63.22   88.01  101.34  128.54  433.77

Bei der Log-Normalverteilung liegen Mittelwert und Median deutlich auseinander. Wir sehen im Vergleich mit dem Histogram und Dichtediagramm, dass der Median eine deutlich bessere Beschreibung des Schwerpunktes darstellt. Der Mittelwert wird hingegen durch Ausreißer nach oben verzerrt.

Lageparameter: Beta-Verteilung Link to heading

1summary(beta)

1##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
2##   0.000   6.764  98.912  96.506 184.584 190.000

Bei der hier gewählten Beta-Verteilung sind Mittelwert und Median insgesamt keine besonders guten Kennwerte, um die Daten zu beschreiben. Die bimodale Verteilung mit zwei Schwerpunkten an den Rändern kann durch einen einzelnen Kennwert nicht sauber beschrieben werden.

Zusammenfassung Lageparameter Link to heading

Wir haben für die gleichen Verteilungen Visualisierungen erstellt und Lageparameter berechnet. Bei dem Vergleich von Visualisierungen und Lageparametern wird klar, wie abhängig von der Form der Verteilung die Qualität der Lageparameter ist.

Box-Plots Link to heading

Box-Plots (auch “box-and-whiskers plots”) sind kompakte Visualisierungen einiger der eben beschriebenen Lageparameter aus summary(). Da sie aber nicht ganz intuitiv sind, hier eine kurze Erklärung der verschiedenen Bestandteile:

Box-Plot: Normalverteilung Link to heading

1boxplot(normal, horizontal = TRUE, boxwex = 0.3)

Für die Normalverteilung liefert der Box-Plot ein gutes Ergebnis. Die symmetrische Form und der Median als gute Beschreibung des Schwerpunkt ermöglichen dem Box-Plot eine gute Darstellung in diesem Fall.

Box-Plot: Log-Normalverteilung Link to heading

1boxplot(lognormal, horizontal = TRUE, boxwex = 0.3)

Auch bei der Log-Normalverteilung bietet der Box-Plot eine vernünftige Visualisierung. Das liegt vor allem daran, dass der Mittelpunkt des Box-Plots auf dem Median beruht, nicht auf dem Mittelwert.

Box-Plot: Beta-Verteilung Link to heading

1boxplot(beta, horizontal = TRUE, boxwex = 0.3)

Bei dieser konkreten Beta-Verteilung ist ein Box-Plot wenig nützlich, ebenso wie die einzelnen Kennwerte von summary() selbst. Die bimodale Verteilung kann eine auf zentrale Tendenz und einzelne Kennwerte fokussierte Darstellung nicht sinnvoll abbilden.

Zusammenfassung Box-Plots Link to heading

Für Normalverteilung und Log-Normalverteilung liefern Box-Plots gute Ergebnisse. Das Diagramm für die Beta-Verteilung ist hingegen weitgehend nutzlos. Keine Überraschung, aber eine wichtige Lektion: immer unterschiedliche Visualisierungen probieren!

Übung: US Judge Ratings Link to heading

Vorbemerkung zum Datensatz Link to heading

Der Datensatz USJudgeRatings ist in R vorinstalliert und enthält von Anwält:innen vergebene Bewertungen zu 43 US-Amerikanischen Richter:innen eines US Superior Courts (Hartigan 1977).

Mit ?USJudgeRatings können Sie mehr über den Datensatz erfahren.

Die genaue Herkunft der Daten ist nicht zu rekonstruieren, die Ergebnisse sollten also nicht zu ernst genommen werden. Für Übungszwecke ist er jedoch hilfreich und gibt Ihnen einen Vorgeschmack auf “echte” Daten.

Erläuterung der Variablen Link to heading

Zur Orientierung, die Kurzbeschreibung der Variablen:

• CONT: Number of contacts of lawyer with judge
• INTG: Judicial integrity
• DMNR: Demeanor
• DILG: Diligence
• CFMG: Case flow managing
• DECI: Prompt decisions
• PREP: Preparation for trial
• FAMI: Familiarity with law
• ORAL: Sound oral rulings
• WRIT: Sound written rulings
• PHYS: Physical ability
• RTEN: Worthy of retention

Übungsaufgaben Link to heading

1. Lassen Sie sich den gesamten Datensatz mit print(USJudgeRatings) anzeigen!
2. Lassen Sie sich alle Variablen mit names(USJudgeRatings) anzeigen!
3. Wenden Sie summary() auf einzelne Variablen des Datensatzes an! Beispiel: summary(USJudgeRatings$CONT).
4. Visualisieren Sie einzelne Variablen mit hist(), plot(density()) und boxplot()!
5. Sie können summary() und boxplot() auch auf ganze Datensätze anwenden, um diese extrem schnell zusammenzufassen. Probieren Sie einmal boxplot(USJudgeRatings, horizontal = TRUE, las = 1) aus!

Informationen zur strengen Replikation Link to heading

1sessionInfo()

 1## R version 4.0.4 (2021-02-15)
 2## Platform: x86_64-pc-linux-gnu (64-bit)
 3## Running under: Debian GNU/Linux 11 (bullseye)
 4## 
 5## Matrix products: default
 6## BLAS:   /usr/lib/x86_64-linux-gnu/openblas-pthread/libblas.so.3
 7## LAPACK: /usr/lib/x86_64-linux-gnu/openblas-pthread/libopenblasp-r0.3.13.so
 8## 
 9## locale:
10##  [1] LC_CTYPE=en_US.UTF-8       LC_NUMERIC=C              
11##  [3] LC_TIME=en_US.UTF-8        LC_COLLATE=en_US.UTF-8    
12##  [5] LC_MONETARY=en_US.UTF-8    LC_MESSAGES=en_US.UTF-8   
13##  [7] LC_PAPER=en_US.UTF-8       LC_NAME=C                 
14##  [9] LC_ADDRESS=C               LC_TELEPHONE=C            
15## [11] LC_MEASUREMENT=en_US.UTF-8 LC_IDENTIFICATION=C       
16## 
17## attached base packages:
18## [1] stats     graphics  grDevices utils     datasets  methods   base     
19## 
20## other attached packages:
21## [1] knitr_1.39
22## 
23## loaded via a namespace (and not attached):
24##  [1] bookdown_0.27   digest_0.6.29   R6_2.5.1        lifecycle_1.0.3
25##  [5] jsonlite_1.8.0  magrittr_2.0.3  evaluate_0.15   highr_0.9      
26##  [9] blogdown_1.10   stringi_1.7.8   cachem_1.0.6    rlang_1.1.1    
27## [13] cli_3.6.1       jquerylib_0.1.4 bslib_0.4.0     vctrs_0.6.5    
28## [17] rmarkdown_2.14  tools_4.0.4     stringr_1.5.0   glue_1.6.2     
29## [21] xfun_0.31       yaml_2.3.5      fastmap_1.1.0   compiler_4.0.4 
30## [25] htmltools_0.5.3 sass_0.4.2